Логарифмические уравнения

Решение логарифмических уравнений очень запутанный и сложный математический процесс. Для того чтобы найти правильный ответ, необходимо следовать неким правилам от простой манипуляции к сложной. Используются свойства степеней, частного и логарифмических произведений. Если уравнение содержит логарифмы с разными основаниями, то их нужно свести к одинаковому значению.

В первую очередь при решении логарифмических уравнений необходимо найти область допустимых значений (ОДЗ). Это делается потому, что в процессе решения могут появляться посторонние корни, которые при окончании решения необходимо проверить на принадлежность ОДЗ. Если решение производится без использования ОДЗ, тогда решение обязательно проверяется. К самым простым логарифмическим уравнениям относятся уравнения типа:

log₃х = log₃9; log₇(30х-1) = 2; log_х-19= 1

и другие. Для нахождения ответа уравнения нужно избавиться от логарифма. Рассмотрим решение на примере такого уравнения:

log₃х = log₃9

избавляемся от логарифма, в результате чего получаем х = 9. Этот способ, потенцирование, является одним из главных при решении неравенств или уравнений такого типа. Однако такую операцию можно проводить только при условии, если уравнение имеет числовые основания одинаковые, логарифм одиночный и стоит без коэффициентов. Например:

log₃х = 2log₃(3х-1)

В данном уравнении убрать логарифм мешает двойка, которая находится справа. Уравнение

log3х+log3(х+1) = log3(3+х)

также не позволяет избавиться от логарифма, так как слева логарифм не одиночный. То есть логарифмы можно убирать в том случае, если уравнение выглядит таким образом logа(.....) = logа(.....). после того как исчезает логарифм остается для решения показательные линейное, дробное, квадратное или другое уравнение:

log₇(3х-5) = log₇х; 3х-5 = х; х=5

Решим другой пример:

log₆(50х-1) = 2

Так как слева находится логарифм Log₇(50х-1), из которого нужно вывести основание, то есть 7, для того чтобы в результате получилось уравнение без логарифма 50х-1. Согласно уравнению данное число равняется двум: 7² = 50х-1 — логарифм исчез 50х-1 = 49, ответ х = 1. Уравнения такого типа можно решать, посылаясь только на смысл самого логарифма, так как его  можно сделать из любого натурального числа,  но решение таким способом не говорит о том, что по такому же примеру вы сможете решить абсолютно все логарифмические уравнения.