Скалярное произведение

Как определить скалярное произведение и его свойства? В различных физических задачах встречается умножение вектора на вектор. Заметим, что при умножении векторов результат

Уильям Гамильтон

(04.08.1805 — 02.09.1865)

Выдающийся ирландский математик и физик XIX века.

может быть как числом, так и вектором. Поэтому рассматривают два вида умножения векторов: скалярный и векторный. Эту операцию рассматривают обычно как линейную и коммутативную по каждому сомножителю. Для обозначения векторов можно использовать такие обозначения: ‹а, b› а х b, (а, b) или же применяют обозначение Дирака (часто применяется для состояния векторов в квантовой механике) ‹а|b›.

Скалярным произведением двух нулевых векторов называют число, которое равняется произведению длин (модулей) этих векторов на косинус угла между ними. Скалярное произведение векторов а и b обозначают, а х b или (а, b). Согласно с определением (а, b) = |а||b|cosϕ. Учитывая, что |b|cosϕ = пр_аb, получаем (а, b) = |а| x пр_а| b |.

Если один из векторов нулевой, то скалярное произведение равняется нулю. Основные свойства скалярного произведения:

1. Переставной закон: (а, b)= (b, а).
2. Соединительный закон: (λа) x b = λ(а, b).
3. Распределительный закон а (b+с) = (а, b) + (а, с).
4. Необходимым и достаточным условием перпендикулярности двух нулевых векторов есть равенство нулю их скалярного произведения.
5. Выражение а x а называют скалярным квадратом вектора а и обозначают как а². Равняется от квадрата длины вектора, то есть а² = | а|².
6. С использованием скалярного произведения можно легко вывести теорему косинусов:

Рассмотрим физическое содержание скалярного произведения на примере представленного рисунка. Пускай под действием постоянной

силы А материальная точка сместилась на В. Из физики известно что работа силы А при перемещении В равняется:

W = |А||В|cos Q = (А, В)

где Q – угол между векторами А и В. Неравенство Коши—Буняковского: для линейного пространства и для любых элементов со скалярным произведением присутствует неравенство:

|‹а, b›|² ≤  ‹а, а›‹b, b›

Такие понятия как «скалярное произведение» и «векторное произведение» было введено в 1846 году У. Гамильтоном. Его открытие было связанно кватернионами. Как кватернионы векторы а и b можно рассматривать:

a1i + a2j + a3k и b1i + b2j + b3k

Тогда их скалярное произведение равняется взятой с обратным знаком скалярной части произведения этих кватернионов (а векторной части — векторное произведение).