Показательные уравнения

Показательным уравнением называется такое уравнение, у которого неизвестное при постоянных основаниях входит только в показатели степени.  Если а является положительным

Джон Непер

(1550 — 1617) 

Шотландский барон, математик, один из изобретателей логарифмов, первый публикатор логарифмических таблиц.

 числом, которое не равняется нулю, тогда:

1. Для всех отрицательных значений b, уравнение умеющее вид а^х = b не имеет решений.
2. Для всех положительных значений числа b уравнение а^х = b имеет одно решение, которое выступает в роли логарифма а^х = b↔х = log_ab.
3. Для правой части уравнения всех положительные значения чисел b можно считать справедливыми: если а > 1, тогда а^х > b↔х > log_ab, и а^х < b↔х < log_ab;                если 0 < а < 1, тогда а^х > b↔х < log_ab и а^х < b↔х > log_ab.
4. Для всех положительных значений b уравнение а^х > b справедливо при любом значении переменной.

Для того чтобы решить простейшее показательное уравнение вида а^х = b, где a ≠ 1, a > 0, необходимо следовать некоторым простым правилам. Уравнение а^х = b не имеет корней, если b ≤ 0; имеет один корень: x = log a b, если b > 0.

Для решения более сложных показательных уравнений необходимо: все степени, которые присутствуют в уравнении необходимо привести к единому значению. Его нужно подвести таким способом, чтобы степень числа была минимальным и целым показателем. Например, вместо 0,01x лучше записать как 10⁻²x или вместо 4x - 2²x. Такое возведение в степень необходимо для дальнейшего деления или умножения уравнений, которые выполняют, учитывая степень.

Во время умножения показатели степеней суммируются, а при делении степени — вычитаются. После того, как вы преодолеете представленные этапы, получится уравнение, которое имеет вид a f (x) = a g(x), где a — некое число.  Это число можно не брать во внимание, так как показательная функция монотонна. Следовательно, уравнение приобретает вид

f (x) = g(x), которое можно легко решить.

Корни также выступают в роли степеней, но с дробным основанием

Рассмотрим на примере. Для того чтобы решить уравнение, прежде всего необходимо помнить, что основания можно убирать только в тех случаях, если они и справа и слева не имеют коэффициентов или других значений: 2^х+2^х+1 = 2³, или 2·* 2^х = 2⁴, при этом двойки не убираются. Решение уравнения, что имеет такой вид 4^х+2^х+1-24=0 находится таким способом. Перепишите уравнение, чтоб оно приобрело такой вид 2^2х+2*2^х-24=0. Если представим что 2^х=у, то у²+2у-24=0. Следовательно можно сказать что у₁=4, у₂=-6, то есть 2^х=4, 2^х=-6. Так как 2^х>0, то х=2.