Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения — это уравнения, которые связывают значения некоторых неизвестных функции в точке и значение её производных порядков в той же точке.

Самыми распространёнными управлениями являются уравнения первого порядка и частных производных. Дифференциальные уравнения содержат в себе переменные и числа, например 3х = 12. Среди уравнений первого порядка чаще всего встречаются уравнения:

1. С разделяющимися переменными;
2. Однородные;
3. Неоднородные.

Рис. 1

В таких уравнениях присутствует одна неизвестная функция (только в некоторых случаях х или (и)  у могут отсутствовать). Соотношение F (x, у, у') = 0 или (рис. 1), где штрих означает дифференцирование по х.  такая независимая переменная как х часто интерпретируется, поэтому ее еще обозначают как t. Переменная у – это некоторая величина, которая со временем может изменяться. Она, например, в некоторых случаях может обозначать набор координат некой точки в пространстве, то есть изменения её координат со временем.

Дифференциальное уравнение в частных производных — это уравнения, которые содержат неизвестные функции с несколькими переменными и их частные производные.

Существует характеристика такого уравнения:

1. Количество переменных функций должно быть не меньше 2;
2. Линейные уравнения (с постоянными или известными коэффициентами) и нелинейные. В частных производных линейные уравнения второго порядка подразделяют на
   «Математика существует не для того, чтобы навязывать кому-либо тяжелую работу. Наоборот, она существует только для удовольствия. Для удовольствия тех, кто любит анализировать то, что он делает, или может сделать, или то, что уже сделал в надежде сделать это еще лучше».

   Роберт Брингхерст.
   гиперболические, параболические и эллиптические;
3. Неоднородности в присутствии слагаемого, которое не зависит от неизвестной функции;
4. Порядок уравнения определяется максимальным порядком производной.

Простейшие уравнения встречались еще в работах Г. Лейбница и И. Ньютона. Именно Лейбницу принадлежит термин «дифференциальные уравнения». Ньютон во время создания исчислений «флюксий» и «флюент» стремился определить такие соотношения: между флюентами соотношении флюксий и между флюксами соотношении флюентов.

С современной точки зрения вторая из этих задач (вычисление по функциям их производных) относится к дифференциальному исчислению. Ньютон нахождения интеграла F(x) функции f(x) рассматривал как частный случай его первой задачи. Для создателя математических основ такой подход был вполне оправданный. Первое же уравнение в частных производных было обнаружено в статьях Эйлера на тему теории поверхностей (в 1734-1735 годах).